首 页 |  信息公开 |  党群工作 |  学校管理 |  教学科研 |  德育专栏 |  校园文化 |  教工之家 |  学生园地 |  文明创建
 
教学科研
       规章制度
       教研活动
       课程建设
拓展性课程
探究性课程
       教育科研
特色研究
校本培训
主题活动
 
首页  >  教学科研  
教学科研
 
 
借助直观图,提高解决问题的有效性
发布日期: 2017-06-05 13:19:00

             

摘要:问题是数学学习的“心脏”,小学生认知发展水平有限,解决数学问题能力不足,遇到一些复杂的问题会束手无策,毫无头绪。课标中提出直观图可以将复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。结合自己的教学实践,我提出当题目中条件因果关系不明显时、关键信息隐蔽时、核心概念模糊时、数学情境陌生时、数量关系理不清时可以画直观图辅助分析问题,提高解决问题的有效性。

关键词:直观图  几何直观  解决问题

一、直观图的概念

2011年《义务教育数学课程标准》在原来6个核心概念的基础上,新增了4个,“几何直观”就是之一。课标指出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果”[1]。几何直观具体包括实物直观、模型直观、图形直观和符号直观[2]。本文主要讨论图形直观即直观图在解决问题(课后巩固练习)时如何化难为易,化繁为简。需要说明的是直观图不仅限于几何图,还包括流程图、线段图、树状算图等,不同的问题和情况需要选择不同的图形。

二、小学生画直观图解决问题的现状分析

   小学生解决问题的能力不足,尤其是遇到抽象和复杂的问题时,往往表现得束手无策,毫无头绪,其中一个原因是他们遇到难题时很少画图,表现在以下几点:

1、缺乏画直观图的意识。学生遇到问题时一般会想到列算式解决,很少想起换种角度通过画图来思考。例如一个长方形长是24厘米,宽是16厘米,有一个正方形和这个长方形连接在一起形成一个大长方形,求大长方形的面积。如果教师不主动出示图形提供支持,多数学生就会无从下笔,大部分同学想不到通过画一个长方形寻找解决问题的突破口。

2、缺乏画直观图验证的习惯。有些学生练习时自信满满,只图速度不求质量,还未透彻的理解题意就开始下笔,他们认为画图只是多此一举,浪费时间。例如将一根木头锯成四段,每锯一次用3分钟,共需要几分钟?遇到这题学生不假思索的写12分钟,不愿意画条线段验证结果。

3、缺乏画直观图的能力。有时候学生也会想到画图,可是由于经验不足,他们不知道需要将问题中的哪部分画成直观图,画成什么样的直观图,缺乏画图的能力。例如小胖看一本书,第一周看了全书的一半,第二周又看了剩下的一半,还剩下200页,这本书共多少页?如果将书换成一根绳子或者一段路程,学生会较容易想起画线段图辅助思考,换种情境他们就不知如何画图了。

要培养学生画图的意识,养成画图的习惯,归根结底是要帮助学生掌握画图的能力。所以本文围绕遇到什么样的问题时需要画直观图,画什么样的直观图,又有什么作用,谈谈自己的看法。

三、依据问题类型,构造合适图形,提高解决问题有效性

(一)条件因果关系不明显时,画直观图有“顺藤摸瓜”之用

有些数学问题已知条件和最终结果之间还有许多的未知量,这些未知量之间又有着多层次的复杂关系。要求得答案需要一步步往前逆推找到关键的信息。小学生的思维能力有限,不擅长逆向思考,这时就可以利用简便的流程图帮助学生快捷的将条件和问题表示出来。

【案例一】例如高年级学生经常遇到这样的几何题目。一根铁丝先围成一个正方形,面积是100平方厘米,然后又围成一个长方形,长方形的宽是4厘米,求长方形的长是多少厘米?

独立探索时大部分同学用:100÷425(厘米)。表面看来是他们混淆了周长和面积的概念,其实是无法理清题中各个数量之间因果关系。

于是我取出准备好的铁丝,先围成正方形,再围成长方形,利用实物直观的方式帮助学生建立了图形的表象。接着我问:“现在这两个图形有什么联系呢?”学生自然得出:他们的周长相等,都等于铁丝的长度。师:是啊,铁丝长就像一条纽带,连接了两个图形,所以要求长方形长先求什么?生:先求长方形周长,也就是正方形周长。师:可是已知正方形面积如何求周长呢?生: 先利用正方形面积求出边长,再利用边长求出周长。我顺势评价:边长又成为正方形面积和周长的“中介”了一番答问中学生初步理顺了这些数量的来龙去脉,我趁热打铁让学生用流程图将这些条件的因果关系表示出来。(如下)

 

 

 


 

本案例中我先让学生自主探索,了解学情;接着用语言引导学生梳理条件之间的关系;最后用流程图及时记录自己的思路,从图中可以清楚地看到正方形面积和长方形长之间隔着正方形边长、正方形周长和长方形周长,它们环环相扣,构成一个知识链。从右往左我们可以找到突破口即正方形面积,从左往右我们又能够顺利求出结果,非常直观。正如美国图论学者哈里所言“千言万语不如一张图”,画流程图促使学生的思维从混沌到清晰,思路从无序到有序,解决问题从茫然到得心应手。

(二)关键信息隐蔽时,画直观图起“柳暗花明”之效

    有些几何问题的变式故意隐藏关键信息,乍看一筹莫展其实只要将题意画成几何图,在作图的过程中就会有意外的收获,可谓“柳暗花明”。

  【案例二】平行四边形的两条邻边分别是10厘米和7厘米,高是8厘米。求这个平行四边形的面积。

读完题目后学生面面相觑,一脸茫然,误认为题目出现错误,接着任意选择一个底乘高计算面积。得到两种答案:10×8=80(㎡)7×8=56(㎡)。

   这时我问学生:如果可以使用两条邻边中任意一条进行计算,说明这个平行四边形有两个面积,这符合实际吗?生:不符合。师:那说明了什么?生:肯定只有一个底是符合条件的。师:到底哪个底是符合的呢?题目中没有直接告知,我们看不出怎么办?生:我们可以画一个平行四边试试,将已知的条件标在图上。师:有道理,几何题目应该画图尝试,请你们边画边思考,8厘米对应的底是多少?

案例中高的位置不可随意画,作图难度较大,这时就应该让学生充分经历尝试的过程,暴露思维的障碍。起初学生画出了草图,随意画出一条高,标上数据,依然无法辨别8厘米对应的是哪个底,于是我建议将高移动,构造成下图。

 

 

 

 

 


 

再留足思考和观察的时间,师:观察图3的直角三角形三条边的长度你发现了什么?尽管这个问题有点难度,思考片刻后依然有学生答到:这个直角三角形斜边长是7厘米,可直角边长却是8厘米,这是绝对不可能的。师:你真善于观察和发现。小学阶段我们没有专门学习这个知识点,但是我们经常接触直角三角形,知道斜边长是一定大于直角边长的。那么从图3你能得出什么结论呢?生:高8厘米对应的底肯定不是10厘米,是7厘米。师:说的很有条理,从图4,我们可以看出这个直角三角形是成立的,所以面积是56平方厘米。

这一案例中,题目故意隐藏关建信息即:一条高会与一条邻边组成一个直角三角形,且这个直角三角形三条边长违反勾股定理。这样的题目仅凭空间想象效率很低,直观图形让未知变成了已知,让不可能变成了可能。

(三)核心概念模糊时,画直观图现“拨云见日”之时

学生解决问题能力不足还有一个原因是对问题中的概念不理解,这时可以借助线段图渗透数形结合的思想,具体生动的理解概念,。

【案例三】例如在四年级学习《增加几倍和增加到几倍》时学生经常遇到这样的题目:小丁丁有4个苹果,增加4倍是几个苹果?增加到5倍是几个苹果?

我将这题给五年级两个班级98名学生测试时,共有三种答案,每种结果人数如下表:

增加4倍是16,增加到5倍是20

38

增加4倍是20,增加到5倍是24

12

增加4倍是20,增加到5倍是20

48

 

 

 

 

从统计结果可知得到错误结果的同学知道“增加几倍”和“增加到几倍”不同,却不知它们和原数究竟有什么样的倍数关系。四年级的知识再次复习时有一半的学生遗忘了,说明学生还是不理解概念。这时我说:“以后遇到了这样的情况先仔细揣摩概念中的关键词,然后依照题意画出线段图,以便直观形象的展示题意。”听到要求后学生开始动笔,生成三种线段图,如下:

 


 

 

 

错误                错误                           正确

师:同学们比较这三种线段图,那种正确?为什么?生:图3正确,因为增加4倍关键词是‘增加’就是在原来的基础上再增加4份,所以一共是5份;增加到5倍有个‘到’字,到就是到达的意思,所以就是5份。师:说的真完整,我们画出线段图后可以对照题目中的两个概念,不难发现图1和图2都是不符合要求的。那么画线段图有什么好处呢?一个同学站起来说:这样的的题目画线段图可以更加直观的理解概念。

数学概念是数学知识的基本构成单位,是数学思维发生和发展的前提。本案例中我引导学生将难以分清的数学概念转化为图形语言,学生在解决问题的过程中潜移默化的感受到画线段辅助思考的益处和优点。

(四)数学情境陌生时,画直观图达“移花接木”之意

   生活生成数学知识,数学知识应用于生活,数学与生活不可分割。将生活情境和抽象的数学知识融合在一起,就构造出数学化情境。数学化情境有时远离学生生活,造成认知困难,此时就可以借助熟悉的情境探究知识。  

【案例四】五年级上学期学习《平均数》时练习册中有这样道题:小丁丁爸爸是司机,一天他下班回家,让小丁丁记录汽车里程表上的数据。小丁丁119日晚上记录的数据是8808,以后几天他都把数据统计在下表中:

日期

1110

1111

1112

1113

1114

里程表的数据(km

8842

8878 

8923

8923

8951

问:这5天小丁丁爸爸平均每天行驶多少千米?

自主探索后用(8842+8878+8923+8923+8951)÷5=8903.4千米,得到爸爸平均每天开车8903.4千米的同学有95%。错误率之所以高且惊人的一致,主要原因是混淆了“开了多少千米”和“开到了多少千米”这两个概念,而概念分不清的原因又因为对情境的不熟悉。怎么样才能够让学生理解陌生情境中的概念呢?我想到了“看书”情境, 看了几页”“看到了第几页“开了多少千米”和“开到了多少千米”含义相同。因此我出示了下面的题目:

案例五:小胖前段时间看一本书看完了23页,接下去他打算第一天看到第56页,第二天看到第78页,第三天看到第122页,小胖这3天平均每天看多少页?

师:小丁丁算出(56+78+125)÷386(页),平均每天约看书86页,对吗?为什么?生:不对,5678125是“看到了多少页”,求平均每天看的页数应该先求出三天共“看了多少页”。师:那么请你们先计算,然后根据题意画出数射线,将每天看到了哪页和共看了几页标在射线上。

 

 

 

 


 

师:数射线上点和线段分别表示什么?生:点表示“每天看到了哪一页”,点与点之间的线段表示“看了多少页”。师:是啊,我们每天看到了第几页是前面所有天数看书页数累计所得,里程表也一样,每天里程表上显示的数据是前面所有天数的路程之和。现在你知道88428878892389238951表示什么意思了吗?生:表示10号爸爸的车子已经开到了8842千米……师:请你们再次算一算平均每天开车多少千米。学生都信心满满的说应该是(8951-8808÷5=28.6千米

本案例在教学时我借题画图,借助数射线上的点以及点点之间的距离直观的展示“看到了多少页”和“看了多少页”的区别。熟悉情境中的概念理解透彻了,学生自然知道“开到了多少千米”和“开了多少千米”的不同之处,难点也就不攻自破了。数学家华罗庚曾经说过:“形缺数时难入微,数缺形时少直观。利用数射线真正做到图文结合,借图解题。

(五)数量关系理不清时,画直观图体“身临其境”之感

对小学生来说,解决问题能力不足最常见的原因就是弄不清题目中的数量关系。除了多读题目多思考,画出直观的图形也不失为一种好方法。

案例六四年级时遇到这样的一题:瓶子里有一些水,小胖往瓶中添加一些水,现在水是原来的2倍,水和瓶共重5千克;小丁丁又加入一些水,现在水是原来的4倍,水和瓶共重9千克,问原来水和瓶共重多少千克?

同学们读了一遍又一遍,还是没有思路。这时我主动提示:可以画图试试啊!一语点醒了同学们,一会的功夫他们就画了各种各样的象形图,从图中都可以看出多了两份水增加了4千克,所以每份水重2千克, 5-2=3(千克),瓶子和水共重3千克。

 

 

 1                     2                 3

尽管这些图形稍显稚嫩,不够规范和严谨,却都能够有效地帮助同学们理解题意。在画图的过程中,学生仿佛亲身经历了亲眼看到了水增加的过程,这大大提高了解决问题的效率。在小学阶段,这样的图形应用很广泛,如解决“鸡兔同笼”时用        表示鸡和兔子来分析数量关系;用                    

代表物体等等。在画图的过程中,把形式化的数据转变成具象化的图像,直观的分析了各个数量之间的关系,发挥了形象思维和抽象思维的协调作用,有效地解决了难题。

四、总结

斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以转化为一个图像,那么就整体把握了问题。”将“ 数 ”和 “ 形 ”结合起来,不仅可以提高小学生解决问题的能力,还可以发展学生的思维,增强学生的数学素养。以上就是我成为一名教师之后的一点反思、一点积累和一点感悟,借此机会整理成文,希望可以指导实践,提高小学生解决问题的效率。实际上直观图的种类还有很多,日后的工作中还需要不断地钻研和学习。

                                     20175月校级交流

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考文献:

[1]教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学,2012-19.

[2] 秦德生,孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考,2005 10.

[3]黄伟星.选择合适内容,渗透几何直观[J].教学月刊(小学),2012 (1)

[4]任英,任菊.运用几何直观,巧解数学问题[J]教学研究,2014(3)

[5]冯崇和.几何直观探索解决小学数学问题的重要手段.[J]内蒙古师范大学学报,2014(8)



1教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学,2012-19.

[2]秦德生,孔凡哲.关于几何直观的思考[J].中学数学教学参考,2005 10.

 

文章作者:夏晓丽
文章出处:夏晓丽

文章浏览次数:
 
 
   
 
首 页    |  信 息 公 开  | 党 群 工 作  | 学 校 管 理  |  教 学 科 研  |  德 育 专 栏  |  校 园 文 化  |  教 工 之 家  |  学 生 园 地  |  专 题 网 站
沪教Y6-20110040号

上海市松江区泗泾第二小学 ©2008版权所有
地址:上海市松江区泗泾镇新家园路333号
学校电话:021-57615518 邮政编码:201601
网站访问次数: